Habis dibagi

Buktikan bahwa
121ⁿ- 25ⁿ + 1900 ⁿ- (-4)ⁿ
habis dibagi 2000

Jawab :
Perhatikan bahwa :
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
a⁴ - b⁴ = (a - b)(a³ + a²b + ab² + b³)
a⁵ - b⁵ = (a - b)(a⁴ + a³b +a²b²+ ab³ + b⁴)
dan setrusnya

Dengan demikian
121ⁿ- 25ⁿ=(121-25)(......)=96(......)=16.6(.....)
1900 ⁿ- (-4)ⁿ = (1900-(-4))(.....)=1904(.....)=16.119(.....)
Dengan demikian 121ⁿ- 25ⁿ + 1900 ⁿ- (-4)ⁿ
habis dibagi 16

Perhatikan juga bahwa
121ⁿ- (-4)ⁿ=(121-(-4))(.....)=125(.....)
1900 ⁿ- 25ⁿ=(1900-25)(...)=1875(...)=125.15(...)
Dengan demikian 121ⁿ- 25ⁿ + 1900 ⁿ- (-4)ⁿ
habis dibagi 125

Karena 121ⁿ- 25ⁿ + 1900 ⁿ- (-4)ⁿ habis dibagi 16 dan 125, sementara 16 dan 125 saling prima maka 121ⁿ- 25ⁿ + 1900 ⁿ- (-4)ⁿ habis dibagi 16x25 atau habis dibagi 2000

sisa pembagian

Tentukan sisanya jika


Jawab :
Perhatikan bentuk berikut
43¹ = 43
43² = 1849
43³ = 79507
43⁴ = 3418801
43⁵ = 147008443
43⁶ = 6321363049
43⁷ = ........07
43⁸ = ........01
43⁹ = ........43
43¹⁰ = ........49
dan seterusnya ----------------------------------------------------(1)

Dengan demikian
43¹ : 100 sisanya = 43
43² : 100 sisanya = 49
43³ : 100 sisanya = 7
43⁴ : 100 sisanya = 1
43⁵ : 100 sisanya = 43
43⁶ : 100 sisanya = 49
43⁷ : 100 sisanya = 7
43⁸ : 100 sisanya = 1
43⁹ : 100 sisanya = 43
43¹⁰ : 100 sisanya = 49
dan seterusnya ----------------------------------------------------(2)

jadi untuk setiap k bilangan cacah berlaku
43^4k : 100 sisa = 1
43^{4k + 1} : 100 sisa = 43
43^{4k + 2} : 100 sisa = 49
43^{4k + 3} : 100 sisa = 7
dan seterusnya ----------------------------------------------------(3)
Dari kondisi (1) bisa disimpulkan bahwa
43^genap = 4k + 1
43^ganjil =4k + 3
Jadi
43⁴³ = 4k + 3
-------------------------------------------------------------------(4)
Jadi

memberikan sisa 7