MATEMATIKA OLIMPIADE: Deret Teleskopik Tak Hingga

Tentukan jumlah dari
$\fn_jvn \frac{1}{3}+\frac{8}{9}+\frac{27}{27}+\frac{64}{81}+\frac{125}{243}+\frac{216}{729}+\frac{343}{2187}+...$

Jawab :
Misalkan jumlah deret tersebut adalah M, maka
$\small \fn_jvn M=\frac{1}{3}+\frac{8}{9}+\frac{27}{27}+\frac{64}{81}+\frac{125}{243}+\frac{216}{729}+\frac{343}{2187}+...$ ....................(1)
Jika kedua ruas dikali dengan 1/3 maka diperoleh
$\small \fn_jvn \frac{1}{3}M=\frac{1}{9}+\frac{8}{27}+\frac{27}{81}+\frac{64}{243}+\frac{125}{729}+\frac{216}{2187}+...$ ...............(2)
Selanjutnya, kurangi persamaan (1) dengan persamaan (2), sehingga diperoleh
$\small \fn_jvn \frac{2}{3}M=\frac{1}{3}+\frac{7}{9}+\frac{19}{27}+\frac{37}{81}+\frac{61}{243}+\frac{91}{729}+\frac{127}{2187}+...$
Perhatikan bahwa dalam mengurangi persamaan (1) dengan persamaan (2) maka untuk ruas kanan yang kita kurangkan adalah yang penyebutnya sama. Sekarang persamaan terakhir ini kita kalikan dengan 3/2, sehingga diperoleh
$\small \fn_jvn M=\frac{1}{2}+\frac{7}{6}+\frac{19}{18}+\frac{37}{54}+\frac{61}{162}+\frac{91}{486}+\frac{127}{1458}+...$ .....................(3)
langkah seterusnya persamaan (3) ini kita kalikan dengan 1/3, sehingga diperoleh
$\small \fn_jvn \frac{1}{3}M=\frac{1}{6}+\frac{7}{18}+\frac{19}{54}+\frac{37}{162}+\frac{61}{486}+\frac{91}{1458}+...$ ..................(4)
Jika persamaan (3) dikurangi denga persamaan (4) maka
$\small \fn_jvn \frac{2}{3}M=\frac{1}{2}+\frac{6}{6}+\frac{12}{18}+\frac{18}{54}+\frac{24}{162}+\frac{30}{486}+\frac{36}{1458}+...$
Jika kedua ruas dikali dengan 3/2 maka
$\small \fn_jvn M=\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{6}+\frac{4}{18}+\frac{5}{54}+\frac{6}{162}+...$
jika suku pertama dan kedua dijumlahkan maka diperoleh
$\small \fn_jvn M=\frac{9}{4}+\frac{2}{2}+\frac{3}{6}+\frac{4}{18}+\frac{5}{54}+\frac{6}{162}+...$ .................(5)
Jika persamaan (5) dikali dengan 1/3 maka didapat
$\small \fn_jvn \frac{1}{3}M=\frac{3}{4}+\frac{2}{6}+\frac{3}{18}+\frac{4}{54}+\frac{5}{162}...$ .................(6)
selanjutnya persamaan (5) dikurangi dengan persamaan (6) sehingga
$\small \fn_jvn \frac{2}{3}M=\frac{6}{4}+\frac{2}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\frac{1}{54}+\frac{1}{162}...$
atau
$\small \fn_jvn \frac{2}{3}M=\frac{6}{4}+\frac{2}{2}+\frac{a}{1-r}=\frac{5}{2}+\frac{\frac{1}{6}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{11}{4}$
Jadi
$\small \fn_jvn M=\frac{33}{8}$

MATEMATIKA OLIMPIADE

Wednesday, September 7, 2011

Deret Teleskopik Tak Hingga

No comments:

Post a Comment

Visitor

Total Pageviews

Followers

Blog Archive

About Me