MATEMATIKA OLIMPIADE: Deret Teleskopik

Tentukan jumlah dari
$\fn_jvn \frac{1}{2}+\frac{4}{4}+\frac{9}{8}+\frac{16}{16}+\frac{25}{32}+\frac{36}{64}+....$

Jawab :
misalkan jumlah deret tersebut adalah A, maka
$\fn_jvn A=\frac{1}{2}+\frac{4}{4}+\frac{9}{8}+\frac{16}{16}+\frac{25}{32}+\frac{36}{64}+....$ ................(1)
Jikakedua ruas dikali 0,5 maka diperoleh
$\fn_jvn \frac{1}{2}A=\frac{1}{4}+\frac{4}{8}+\frac{9}{16}+\frac{16}{32}+\frac{25}{64}+....$ ....................(2)
langkah selanjutnya adalah persamaan (1) dikurangi dengan persamaan (2). Perhatikan bahwa untuk ruas kanan kita mengurangkan yang penyebutnya sama sehingga diperoleh
$\fn_jvn \frac{1}{2}A=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+\frac{9}{32}+\frac{11}{64}....$ ..............(3)
Jika kedua ruas pada persamaan (3) dikali dengan 0,5 maka diperoleh
$\fn_jvn \frac{1}{4}A=\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{7}{32}+\frac{9}{64}+....$ ......................(4)

selanjutnya persamaan (3) dikurangi dengan persamaan (4) sehingga diperoleh
$\fn_jvn \frac{1}{4}A=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{2}{8}+\frac{2}{16}+\frac{2}{32}+\frac{2}{64}....$
atau
$\fn_jvn \frac{1}{4}A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}....$
Jadi
$\fn_jvn \frac{1}{4}A=\frac{1}{2}+\frac{a}{1-r}$
Sehingga
$\fn_jvn \frac{1}{4}A=\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$
Jadi
A = 6

MATEMATIKA OLIMPIADE

Wednesday, September 7, 2011

Deret Teleskopik

No comments:

Post a Comment

Visitor

Total Pageviews

Followers

Blog Archive

About Me